思维就是人的理性认识的过程，根据思维过程的指向性，可将思维分为：常规思维（正向思维）和逆向思维。中学数学课本中的逆运算、否命题、反证法、分析法、充要条件等都涉及到思维的逆向性，在数学解题中，通常是从已知到结论的思维方式，然而有些数学总是按照这种思维方式则比较困难，而且常常伴随有较大的运算量，有时甚至无法解决，在这种情况下，只要我们多注意定理、公式、规律性例题的逆用，正难则反，往往可以使问题简化，经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维的敏捷性。
1、定义的逆用
在数学解题中“定义法”是一种比较常见的方法，但定义的逆用容易被人们忽视，只要我们重视定义的逆用，进行逆向思维，就能使有些问题解答简捷。
例1、设，求的值
分析：常见的方法是先求反函数，然后再求的值，但只要我们逆用反函数定义，令，解出的值即为的值，=1。
例2、如图，已知在一个周期内的图象，求其解析式。
分析：由已知易得周期T=π，ω=2，此题的难点是定，而且极易出错，只要我们逆用“五点法”的定义，则问题极易解决，其中点为“五点法”中的第三点，其相为π。即：，所以，最后定，所以。
2、公式的逆用
在有些数学问题中，除了熟练掌握公式的顺用外，还应学会公式的变形逆用，这样可以使问题的运算量减少。
例1、化简
分析：此题如果用和差角公式后再立方，则运算量太大，但我们只要联系与三次方有关的三倍角公式：，变形逆用三倍角公式。所以，，这样就可以使原式降次，然后用和差化积公式，就能很快得出结果。
例2、已知：，当时，，求证：。
分析：此题用数学归纳法证明较为复杂。但只要抓住等比数列前项和公式的特点，逆用公式，进行逆向思维，则可使运算简化。因为
，所以原不等式成立。
3、逆向分析法
分析法的实质是“执果索因”，要证明结论成立，只需找使结论成立的充分条件即可。这种方法在证明题中用得较多，这也是逆向思维在数学解题中的具体运用。
例1、（1994年高考题）设，，当时，且，证明：
分析：要证明原不等式成立，即证，只需证
，即证
，即
（）
即，由已知易得：成立，故原不等式成立。
例2、已知正数成等差数列，求证：也成等差数列。
分析：要证原结论成立，只需证，即，而，
所以上式成立，所以原结论成立。
4、反证法
反证法就是把假设结论的反面成立，由此导出与题设、定义、公理相矛盾的结论，从而推翻假设，肯定结论的证明方法，这种应用逆向思维的方法，可使很多问题处理起来相当简捷。
例1、有，求证：、、中至少有一个不小于。
分析：此题直接证比较困难，但只要用反证法则较为简便。
设、、，
所以+2++1+=2……（1）；
但+2+≥－2+
=……（2），与（2）矛盾，所以假设不成立，故原结论成立。
例2、如图，已知a、b为异面直线，A、B∈a，C、D∈b，求证：AB和CD是异面直线。
分析：如果按异面直线的定义直接证明比较困难，但如果从反面证明则比较简单，如果AB与CD
共面，则得出a、b共面，与a、b是异面直线矛盾，因此，AB、CD为异面直线。
5、逆向排除法
在有些数学问题中，正面复杂，反面简单，只要逆向分析，进行排除，就能使问题得到简捷的解答，同时这也是解有些选择题的有效捷径解法。
例：若二次函数在区间内至少有一个点，使，求实数的取值范围。
分析：此题从反面分析，采取补集法则比较简单。
如果在
内没有点满足，
则，
取补集为，即为满足条件的的取值范围。
综上所述：在数学解题中，根据问题的特点，在应用常规数学思维的同时，注意逆向思维的应用，往往能使很多问题运算简化，对培养学生的数学思维，特别是培养学生思维的敏捷性，提高学生的数学能力具有重要的意义。
